Question

n²（n≥4）個正數(shù)排成n行n列：
a₁₁ a₁₂ a₁₃ a₁₄…a_1n
a₂₁ a₂₂ a₂₃ a₂₄…a_2n
a₃₁ a₃₂ a₃₃ a₃₄…a_3n
…
a_n1 a_n2 a_n3 a_n4…a_nn
其中每一行的數(shù)由左至右成等差數(shù)列，每一列的數(shù)由上至下成等比數(shù)列，并且所有公比相等，已知a₂₄=1，a₄₂=

1

8

，a₄₃=

3

16

，則a₁₁+a₂₂+…+a_nn=

2-（n+2）•

1

2n

．

Answer 1

分析：設(shè)第一行數(shù)的公差，第一列數(shù)的公比；求出表中通項a_st，據(jù)通項公式將a₂₄，a₄₂，a₄₃用首項，公差、公比表示，列出方程組求出首項、公差、公比；由題意求出a_kk，據(jù)a_kk的特點，利用錯位相減法求出對應(yīng)式子的和．

解答：解：設(shè)第一行數(shù)的公差為d，第一列數(shù)的公比為q，
可得a_st=[a₁₁+（t-1）d]q^s-1
又設(shè)第一行數(shù)列公差為d，各列數(shù)列的公比為q，
則第四行數(shù)列公差是dq³，
則

a24=(a11+3d)q=1 a42=(a11+d)q3= 1 8 a43=a42+dq3= 3 16

，
解此方程組，得a₁₁=d=q=±

1

2

，
∵n²（n≥4）個正數(shù)排成n行n列，
∴a₁₁=d=q=

1

2

，
則對任意的1≤k≤n，
akk=akqk-1=[a₁₁+（k-1）d]q^k-1=

k

2k

，
設(shè)s=a₁₁+a₂₂+…+a_nn=

1

2

+

2

22

+

3

23

+…+

n

2n

   ①

1

2

s=

1

22

+

2

23

+

3

24

+…+

n

2n+1

              ②
①-②得，

1

2

s=

1

2

+

1

22

+

1

23

+…+

1

2n

-

n

2n+1

=

1 2 (1- 1 2n )

1- 1 2

-

n

2n+1

=1-

1

2n

-

n

2n+1

，
∴s=2（1-

1

2n

-

n

2n+1

）=2-（n+2）•

1

2n

故答案為：2-（n+2）•

1

2n

．

點評：本題考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合應(yīng)用，以及由條件求數(shù)列的通項公式，考查數(shù)列求和的常用方法：錯位相減法，考查分析問題解決問題的能力，難度較大．