Question

【題目】如圖，在三棱柱中， 為的中點(diǎn)， ， .

（1）求證： 平面；

（2）當(dāng)時(shí)，求直線與平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）．

【解析】【試題分析】（1）依據(jù)題設(shè)條件運(yùn)用直線與平面平行的判定定理進(jìn)行分析推證；（2）依據(jù)題設(shè)條件建立空間直角坐標(biāo)系，借助向量的有關(guān)知識(shí)與數(shù)量積公式分析求解：

（1）證明：

連結(jié)與相交于點(diǎn)，連結(jié).

∵為中點(diǎn)，∴，

又∵平面平面，

∴平面.

（2）∵，

∴，∴，

又∵平面平面，

∴平面，

∴平面平面.

如圖，過在平面內(nèi)作，垂足為．

∵平面平面，平面平面，

∴平面．

以點(diǎn)為原點(diǎn)， 的方向分別為軸、軸、軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，得下列坐標(biāo)：

．

設(shè)平面的一個(gè)法向量，則

，∴，解之得．

∴．

又∵．∴，

所以直線與平面所成角的正弦值為．