Question

已知函數(shù)f(x)=

1

3

x3-ax2+4x．
（I）若曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線的傾斜角為

π

4

，求實數(shù)a的值；
（II）若函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[0，2]上單調(diào)遞增，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）根據(jù)切線的傾斜角為

π

4

得到切線的斜率，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知x=1處的導(dǎo)數(shù)即為切線的斜率，建立等量關(guān)系，求出a即可；
（II）根據(jù)函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[0，2]上單調(diào)遞增，可轉(zhuǎn)化成x²-2ax+4≥0對一切x∈[0，2]恒成立，將參數(shù)a分離，轉(zhuǎn)化成當(dāng)x∈（0，2]時，等價于不等式a≤

x2+4

2x

恒成立，利用均值不等式求出不等式右邊函數(shù)的最小值，即可求出a的范圍．

解答：解：（Ⅰ）∵f(x)=

1

3

x3-ax2+4x
∴f'（x）=x²-2ax+4（2分）
∵f′(1)=12-2a+4=tan

π

4

（4分）
∴a=2（6分）
（Ⅱ）∵函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[0，2]上單調(diào)遞增
∴x²-2ax+4≥0對一切x∈[0，2]恒成立
x=0時成立
當(dāng)x∈（0，2]時，等價于不等式a≤

x2+4

2x

恒成立
令g(x)=

x2+4

2x

=

1

2

(x+

4

x

)≥

1

2

×2

x• 4 x

=2
當(dāng)x=

4

x

?x=2時取到等號，所以g（x）_min=2
∴a≤2（12分）

點評：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程，以及函數(shù)恒成立問題等基礎(chǔ)題知識，考查運算求解能力、推理論證能力，分類討論思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．