Question

如圖，在 Rt△AOB中，∠OAB=

π

6

，斜邊AB=4，D是AB的中點(diǎn)．現(xiàn)將 Rt△AOB以直角邊AO為軸旋轉(zhuǎn)一周得到一個(gè)圓錐體，點(diǎn)C為圓錐體底面圓周上的一點(diǎn)，且∠BOC=90°．
（1）求異面直線AO與CD所成角的大小；
（2）若某動(dòng)點(diǎn)在圓錐體側(cè)面上運(yùn)動(dòng)，試求該動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)C出發(fā)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D所經(jīng)過的最短距離．

Answer 1

分析：（1）解法一：設(shè)OB中點(diǎn)為E，連接CE、DE，則設(shè)異面直線AO與CD所成角即為∠CDE，然后在直角三角形CDE中求出此角即可．
解法二：以O(shè)C為x軸，OB為y軸，OA為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，然后求出異面直線AO與CD的方向向量，最后根據(jù)向量的夾角公式cosθ=

| OA • CD |

| OA |•| CD |

進(jìn)行計(jì)算即可求出所求；
（2）由條件，底面圓周長(zhǎng)為2π•OB=4π，母線長(zhǎng)AB=4，從而求出該圓錐體側(cè)面展開圖的扇形圓心角大小，展開圖恰好為一個(gè)半圓，此時(shí)CD的長(zhǎng)即為所求，利用余弦定理解之即可．

解答：解：（1）解法一：設(shè)OB中點(diǎn)為E，連接CE、DE，則設(shè)異面直線AO與CD所成角即為∠CDE．
由DE∥AO，所以DE⊥底面COB，于是DE⊥CE．
又DE=

1

2

AO=

3

，CE=

CO2+EO2

=

5

，∴tan∠CDE=

15

3

．
即異面直線AO與CD所成角的大小為arctan

15

3

．
解法二：以O(shè)C為x軸，OB為y軸，OA為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則O（0，0，0），A(0，0，2

3

)，C（2，0，0），D(0，1，

3

)，∴

OA

=(0，0，2

3

)，

CD

=(-2，1，

3

)，設(shè)異面直線AO與CD所成角為θ，則cosθ=

| OA • CD |

| OA |•| CD |

=

6

2 3 •2 2

=

6

4

．∴異面直線AO與CD所成角的大小為arccos

6

4

．
（2）由條件，底面圓周長(zhǎng)為2π•OB=4π，母線長(zhǎng)AB=4．故該圓錐體側(cè)面展開圖的扇形圓心角大小為θ=

2πr

l

=

4π

4

=π，即展開圖恰好為一個(gè)半圓．由條件∠BOC=

π

2

，故展開圖中，∠CAB=

π

4

，此時(shí)CD的長(zhǎng)即為所求．由余弦定理，CD2=CA2+AD2-2CA•AD•cos45°=20-8

2

，故從點(diǎn)C出發(fā)在圓錐體表面運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D的最短距離為2

5-2 2

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了兩異面直線所成角，以及旋轉(zhuǎn)體表面上的最短距離問題，屬于中檔題．