Question

如圖，在Rt△AOB中，∠OAB=

π

6

，斜邊AB=4．Rt△AOC可以通過(guò)Rt△AOB以直線AO為軸旋轉(zhuǎn)得到，且二面角B-AO-C為直二面角．D是AB的中點(diǎn)．
（I）求證：平面COD⊥平面AOB；
（II）求異面直線AO與CD所成角的大�。�

Answer 1

分析：（1）欲證平面COD⊥平面AOB，先證直線與平面垂直，由題意可得：CO⊥AO，BO⊥AO，CO⊥BO，所以CO⊥平面AOB．
（2）求異面直線所成的角，需要將兩條異面直線平移交于一點(diǎn)，由D為AB的中點(diǎn)，故平移時(shí)很容易應(yīng)聯(lián)想到中位線，作DE⊥OB，垂足為E，連接CE，則DE∥AO，所以∠CDE是異面直線AO與CD所成的角，利用解三角形的有關(guān)知識(shí)夾角問(wèn)題即可．

解答：解：（1）∵Rt△AOC可以通過(guò)Rt△AOB以直線AO為軸旋轉(zhuǎn)得到
∴CO⊥AO，BO⊥AO
又∵二面角B-AO-C是直二面角
∴∠BOC是二面角B-AO-C的平面角
∴∠BOC=90°
∴CO⊥BO，又AO∩BO=O
∴CO⊥平面AOB
∵CO?面COD
∴平面COD⊥平面AOB
（2）作DE⊥OB，垂足為E，連接CE，所以DE∥AO
∴∠CDE是異面直線AO與CD所成的角．
在 Rt△COE中，CO=BO=2，OE=

1

2

BO=1
∴CE=

CO2+ OE2

=

5

又∵DE=

1

2

AO=

3

∴CD=

CE2+DE2

=2

2

∴在Rt△CDE中，cos∠CDE=

DE

CD

=

6

4

∴異面直線AO與CD所成角為arcos

6

4

．

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查空間線面關(guān)系、異面直線所成的角的度量、線面角的度量等知識(shí)，考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，以及空間想象能力、推理論證能力和運(yùn)算求解能力!