Question

【題目】定義在R上的函數(shù)y=f（x），恒有f（x）=f（2﹣x）成立，且f′（x）（x﹣1）＞0，對任意的x1＜x2 ， 則f（x1）＜f（x2）成立的充要條件是（ ）
A.x2＞x1≥1
B.x1+x2＞2
C.x1+x2≤2
D.x2

Answer 1

【答案】B
【解析】解：由f（x）=f（2﹣x），得函數(shù)關(guān)于x=1對稱．由f'（x）（x﹣1）＞0得，當(dāng)x＞1時(shí)，f′（x）＞0，此時(shí)函數(shù)為增函數(shù)；當(dāng)x＜1時(shí)，f′（x）＜0，此時(shí)函數(shù)f（x）為減函數(shù)，

①若x1＜x2，當(dāng)1≤x1，函數(shù)為增函數(shù)，滿足對任意的x1＜x2，f（x1）＜f（x2），此時(shí)x1+x2＞2，

②若x1＜1，

∵函數(shù)f（x）關(guān)于x=1對稱，則f（x1）=f（2﹣x1），則2﹣x1＞1，

則由f（2﹣x1）=f（x1）＜f（x2），此時(shí)2﹣x1＜x2，即x1+x2＞2，

即對任意的x1＜x2，f（x1）＜f（x2）得x1+x2＞2，反之也成立，

即對任意的x1＜x2，f（x1）＜f（x2）是x1+x2＞2的充要條件，

所以答案是：B

【考點(diǎn)精析】通過靈活運(yùn)用利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減即可以解答此題．