Question

【題目】已知函數(shù)，其中．是自然對數(shù)的底數(shù)．

（1）若曲線在處的切線方程為．求實數(shù)的值；

（2）① 若時，函數(shù)既有極大值，又有極小值，求實數(shù)的取值范圍；

② 若，．若對一切正實數(shù)恒成立，求實數(shù)的最大值（用表示）．

Answer 1

【答案】（1）.（2）①②

【解析】

試題（1）由導(dǎo)數(shù)幾何意義得，又過過點(diǎn)(1,0)，因此可列方程組，解得（2）①由題意得，導(dǎo)函數(shù)有兩個不同的零點(diǎn)，即有兩個不同的解，研究目標(biāo)函數(shù) 得在區(qū)間上為減函數(shù)，在區(qū)間上為增函數(shù)，因此②先化簡不等式：，再分別求證，（當(dāng)且僅當(dāng)都在處取到等號），最后利用不等式性質(zhì)得

試題解析： (1) 由題意知曲線過點(diǎn)(1,0)，且；又因為，則有解得.

(2)①當(dāng)時，函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，若時，得，設(shè) . 由 ，得，. 當(dāng)時，，函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù)，；當(dāng)時，，函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，；所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，有兩個不同的解，設(shè)為， .

此時，函數(shù)既有極大值，又有極小值.

②由題意對一切正實數(shù)恒成立，取得.下證對一切正實數(shù)恒成立.首先，證明. 設(shè)函數(shù)，則，當(dāng)時，；當(dāng)時，；得，即，當(dāng)且僅當(dāng)都在處取到等號. 再證. 設(shè)，則，當(dāng)時，；當(dāng)時，；得，即，當(dāng)且僅當(dāng)都在處取到等號. 由上可得，所以，即實數(shù)的最大值為.