Question

【題目】用長為18 m的鋼條圍成一個(gè)長方體形狀的框架，要求長方體的長與寬之比為2：1，問該長方體的長、寬、高各為多少時(shí)，其體積最大？最大體積是多少？

Answer 1

【答案】解：設(shè)長方體的寬為x（m），則長為2x(m)，高為

.

故長方體的體積為

從而

令V′（x）＝0，解得x=0（舍去）或x=1，因此x=1.

當(dāng)0＜x＜1時(shí)，V′（x）＞0；當(dāng)1＜x＜時(shí)，V′（x）＜0，

故在x=1處V（x）取得極大值，并且這個(gè)極大值就是V（x）的最大值。

從而最大體積V＝V′（x）＝9×12-6×13（m3），此時(shí)長方體的長為2 m，高為1.5 m.

答：當(dāng)長方體的長為2 m時(shí)，寬為1 m，高為1.5 m時(shí)，體積最大，最大體積為3 m3。

【解析】試題分析：設(shè)長方體的長和寬分別為，則高為，所以長方體的體積為， ，令得（舍去）或，當(dāng)時(shí)， ， 單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)， ， 單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值，此時(shí)長方體的長寬高分別為.