Question

【題目】如圖，一個(gè)角形海灣（常數(shù)為銳角）．?dāng)M用長(zhǎng)度為（為常數(shù)）的圍網(wǎng)圍成一個(gè)養(yǎng)殖區(qū)，有以下兩種方案可供選擇：方案一：如圖1，圍成扇形養(yǎng)殖區(qū)，其中；方案二：如圖2，圍成三角形養(yǎng)殖區(qū)，其中.

（1）求方案一中養(yǎng)殖區(qū)的面積；

（2）求方案二中養(yǎng)殖區(qū)的最大面積（用表示）；

（3）為使養(yǎng)殖區(qū)的面積最大，應(yīng)選擇何種方案？并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）應(yīng)選擇方案一．

【解析】

（1）設(shè)此扇形所在的圓的半徑為，則，可得．利用扇形面積計(jì)算公式可得．

（2）設(shè)，，利用余弦定理與基本不等式的性質(zhì)可得：，可得：，即可得出．

（3）由于，令，求導(dǎo)，可得在上單調(diào)遞增．即可得出結(jié)論．

（1）設(shè)，則，即，所以

．

（2）設(shè)．由余弦定理，得，所以

．

所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立．

所以，即．

（3），

令，則．

當(dāng)時(shí)，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增．

所以，當(dāng)時(shí)，總有，即，即．

答：為使養(yǎng)殖區(qū)面積最大，應(yīng)選擇方案一．