Question

設(shè)函數(shù)定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013093000083215748076/SYS201309300009590913781458_ST.files/image002.png">，且.設(shè)點(diǎn)是函數(shù)圖像上的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)分別作直線和 軸的垂線，垂足分別為．

（1）寫出的單調(diào)遞減區(qū)間（不必證明）；

（2）問：是否為定值？若是，則求出該定值，若不是，則說明理由；

（3）設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，求四邊形面積的最小值.

 

Answer 1

【答案】

（1）函數(shù)在上是減函數(shù).

（2） 

（3）。

【解析】

試題分析：

思路分析：（1）根據(jù)函數(shù)的圖象過點(diǎn)，確定a，進(jìn)一步認(rèn)識(shí)函數(shù)的單調(diào)性。

（2）、設(shè) ，根據(jù)直線的斜率 ，確定的方程。

利用聯(lián)立方程組求得M,N的坐標(biāo)，計(jì)算可得 。

（3）、為求四邊形面積的最小值，根據(jù)（2）將面積用 表示，

，應(yīng)用均值定理求解。

解：（1）、因?yàn)楹瘮?shù)的圖象過點(diǎn)，

所以函數(shù)在上是減函數(shù).

（2）、設(shè) ，直線的斜率 ，

則的方程。

聯(lián)立 ，

 、 

，

 

（2）、（文）設(shè)，直線的斜率為，

則的方程 ，

聯(lián)立 ， ，

3、  ， ，

∴，

，，

∴ ，，

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，∴ 此時(shí)四邊形面積有最小值。

考點(diǎn)：函數(shù)的單調(diào)性，直線與雙曲線的位置關(guān)系，平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，均值定理的應(yīng)用，面積計(jì)算。

點(diǎn)評(píng)：中檔題，本題綜合性較強(qiáng)，難度較大。以“對(duì)號(hào)函數(shù)”為背景，綜合考查函數(shù)的單調(diào)性，直線與雙曲線的位置關(guān)系，平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，均值定理的應(yīng)用，面積計(jì)算等。