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        1. 精英家教網(wǎng)已知某幾何體的直觀圖和三視圖如圖所示,其正視圖為直角梯形,側(cè)視圖為等腰直角三角形,俯視圖為矩形.
          (Ⅰ)證明:BN⊥平面B1C1N;
          (II)求二面角C-NB1-C1的余弦值;
          (III)設M為線段AB的中點,在線段BC上是否存在一點P,使得MP∥平面CNB1?若存在,指出點P的位置;若不存在,請說明理由.
          精英家教網(wǎng)
          分析:法一建立空間直角坐標系,(Ⅰ)求出向量
          BN
          NB1
          =0,
          BN
          B1C1
          =0
          即可證明:BN⊥平面B1C1N;
          (II)求出平面CNB1和平面NB1C1的法向量,利用公式求出其余弦值;
          (III)設
          MP
          =(a,0,-1),利用
          MP
          n
          ?
          MP
          n
          =0,求出a可使得MP∥平面CNB1
          法二:幾何法,(Ⅰ)由已知得B1C1⊥平面BNB1,可得B1C1⊥BN,再求證BN⊥B1N即可證明結(jié)論.
          (II)過N作NQ
          .
          .
          B1C1,∠CNQ是二面角C-B1N-Q的平面角,然后求解即可.
          (III)延長BA、B1N交于R,連接CR,利用比例關系,推出P的位置,使得MP∥平面CNB1
          解答:解:解法一:(Ⅰ)證明
          ∵該幾何體的正視圖為直角梯形,側(cè)視圖為等腰直角三角形,俯視圖為矩形,
          ∴BA,BC,BB1兩兩垂直.
          以BC,BB1,BA分別為x,y,z軸建立空間直角坐標系,(1分)
          精英家教網(wǎng)
          則N(0,2,2),B1(0,4,0),C1(2,4,0),C(2,0,0)
          BN
          NB1
          =(0,2,2)•(0,2,-2)=4-4=0
          BN
          B1C1
          =(0,2,2)•(2,0,0)=0(3分)
          ∴BN⊥NB1,BN⊥B1C1,又NB1與B1C1相交于B1
          ∴BN⊥平面C1B1N;(4分)

          (Ⅱ)由(Ⅰ)知,
          BN
          =(0,2,2)是平面C1B1N的一個法向量,(5分)
          n
          =(x,y,z)
          為平面NCB1的一個法向量,
          n
          CN
          =0
          n
          NB1
          =0
          ?
          (x,y,z)•(-2,2,2)=0
          (x,y,z)•(0,2,-2)=0
          ?
          -x+y+z=0
          y-z=0
          ,取
          n
          =(2,1,1),(7分)
          cos<
          BN
          n
          >=
          BN
          n
          |
          BN
          n
          |
          =
          3
          3
          ,
          即二面角C-NB1-C1的余弦值為
          3
          3
          .(9分)
          (Ⅲ)∵M(0,0,1).設P(a,0,0)為BC上一點,則
          MP
          =(a,0,-1),∵MP∥平面CNB1
          MP
          n
          ?
          MP
          n
          =(a,0,-1)•(2,1,1)=2a-1=0?a=
          1
          2
          .(12分)
          又MP?平面CNB1,∴MP∥平面CNB1,∴當BP=
          1
          2
          時MP∥平面CNB1.(13分)
          解法二:
          (Ⅰ)證明:由已知得B1C1⊥平面BNB1,∴B1C1⊥BN,
          BN=2
          2
          =B1N,BB1=4,∴BB12=BN2+B1N2,∴BN⊥B1N
          又B1C1與B1N交于B1,∴BN⊥平面C1B1N;
          (Ⅱ)過N作NQ
          .
          .
          B1C1,則BC∥QN,又BN⊥平面C1B1N,
          ∴CQ⊥平面C1B1N,則CQ⊥B1N,QN⊥B1N,∴∠CNQ是二面角C-B1N-Q的平面角θ,
          在Rt△CNQ中,NQ=2,CQ=2
          2
          ,∴CN=2
          3
          ,cosθ=
          NQ
          CN
          =
          3
          3
          ;

          (Ⅲ)延長BA、B1N交于R,連接CR,∵MP∥平面CNB1,
          MP?平面CBR,平面CBR∩平面CRN于CR,
          ∴MP∥CR,△RB1B中AN
          .
          .
          1
          2
          BB1,∴A為RB中點,
          BP
          BC
          =
          BM
          BR
          =
          1
          4
          ,∴BP=
          1
          2
          ,因此存在P點使MP∥平面CNB1
          點評:本題主要考查直線與直線,直線與平面,平面與平面位置關系等基礎知識;考查空間想象能力,推理論證能力和運算求解能力.
          練習冊系列答案
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          (1)求證:BN⊥平面C1B1N;
          (2)θ 為直線C1N與平面CNB1所成的角,求sinθ 的值
          (3)設M為AB中點,在BC邊上找一點P,使MP∥平面CNB1并求
          BPPC
          的值

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          (Ⅱ)求證:直線BC1∥平面AB1D;
          (Ⅲ)求證:直線B1D⊥平面AA1D.

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          (1)求證:BC∥平面C1B1N;
          (2)求證:BN⊥平面C1B1N;
          (3)設M為AB中點,在BC邊上找一點P,使MP∥平面CNB1,并求
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