Question

已知某幾何體的直觀圖和三視圖如圖所示，其正視圖為矩形，側(cè)視圖為等腰直角三角形，俯視圖為直角梯形．

（Ⅰ）若M為CB中點(diǎn)，證明：MA∥平面CNB₁；
（Ⅱ）求這個(gè)幾何體的體積．

Answer 1

分析：（I）取CB₁的中點(diǎn)P，連MP，由已知中M為CB中點(diǎn)，根據(jù)矩形及梯形的性質(zhì)，我們易得MP∥AN且MP=AN，即四邊形ANPM為平行四邊形，進(jìn)而根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，得到AM∥NP，再由線面垂直的判定定理，得到答案．
（II）這個(gè)幾何體的體積由四棱錐N-CBB₁C₁和三棱錐C-ABN組成，由已知中的三視圖的正視圖為矩形，側(cè)視圖為等腰直角三角形，俯視圖為直角梯形，則B點(diǎn)處必有BA，BC，BB₁兩兩垂直，取B₁B的中點(diǎn)Q，連QN，分別計(jì)算出四棱錐N-CBB₁C₁和三棱錐C-ABN的體積，即可得到答案．

解答：解：（Ⅰ）證明：取CB₁的中點(diǎn)P，連MP，∵已知M為CB中點(diǎn)，∴MP∥BB₁且MP=

1

2

BB₁
由三視圖可知，四邊形ABB₁N為直角梯形，∴AN∥BB₁且AN=

1

2

BB₁（2分）
∴MP∥AN且MP=AN，∴四邊形ANPM為平行四邊形，∴AM∥NP，（4分）
又AM?平面CNB₁，PN?平面CNB₁，∴AM∥平面CNB₁（6分）
（Ⅱ）∵該幾何體的正視圖為矩形，側(cè)視圖為等腰直角三角形，俯視圖為直角梯形，
∴BA，BC，BB₁兩兩垂直．
∴BC⊥BA，BC⊥B₁B且BB₁與BA相交于B，
∴BC⊥平面AB₁BN，BC為三棱錐C-ABN的高（8分）
取B₁B的中點(diǎn)Q，連QN，∵四邊形ABB₁N為直角梯形且AN=

1

2

BB₁=4，
四邊形ABQN為正方形，NQ⊥BB₁，又BC⊥平面ABB₁N，∵QN?平面ABB₁N∴BC⊥NQ，且BC與BB₁相交于B，∴NQ⊥平面C₁B₁BC，NQ為四棱錐N-CBB₁C₁的高（10分）
∴幾何體ABC-NB₁C₁的體積V=VC-ABN+VN-CBB1C1=

1

3

CB•S△ABN+

1

3

NQ•SBCC1B1
=

1

3

×4×

1

2

×4×4+

1

3

×4×4×8=

160

3

（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查線面平行與垂直關(guān)系，及多面體的體積計(jì)算等基礎(chǔ)知識(shí)，考查空間想象能力、抽象概括能力和運(yùn)算求解能力．其中根據(jù)已知三視圖分析出幾何體的形狀及幾何特征是解答本題的關(guān)鍵．