Question

已知函數(shù)f（x）=2a•4^x-2^x-1
（1）當(dāng)a=1時(shí)，求函數(shù)f（x）在x∈[-3，0]的值域；
（2）若關(guān)于x的方程f（x）=0有解，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由題意可得f（x）=2•4^x-2^x-1，令t=2^x，則f（t）=2t²-t-1，由x∈[-3，0]可知

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8

≤t≤1，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可求
（2）由題意可得方程2at²-t-1=0在（0，+∞）上有解，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可考慮分類討論：①當(dāng)a=0時(shí)②當(dāng)a＜0時(shí)，③當(dāng)a＞0三種情況討論可求

解答：解：（1）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=2•4^x-2^x-1，
令t=2^x，則f（t）=2t²-t-1，
∵x∈[-3，0]
∴

1

8

≤t≤1，f（t）=2(t-

1

4

)2-

9

8

當(dāng)t=

1

4

時(shí)，函數(shù)有最小值-

9

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，當(dāng)t=1時(shí)，函數(shù)有最大值0
故值域?yàn)?span id="uuzt5b5" class="MathJye">[-

9

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，0]
（2）關(guān)于x的方程f（x）=0有解，等價(jià)于
方程2at²-t-1=0在（0，+∞）上有解
記f（t）=2at²-t-1（t＞0）
①當(dāng)a=0時(shí)，解為t=-1，不成立
②當(dāng)a＜0時(shí)，開口向下，對(duì)稱軸t=

1

4a

＜0，過點(diǎn)（0，-1），可得根都為負(fù)數(shù)，不成立
③當(dāng)a＞0時(shí)，開口向上，對(duì)稱軸t=

1

4a

＞0，過（0，-1），必有一個(gè)根為正
綜上得，a＞0

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用換元求解二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，及二次方程的實(shí)根分布的應(yīng)用，屬于綜合試題