Question

對于兩個定義域相同的函數f（x），g（x），若存在實數m，n使h（x）=mf（x）+ng（x），則稱函數h（x）是由“基函數f（x），g（x）”生成的。
（1）若f（x）=x²+3x和g（x）=-3x+4生成一個偶函數h（x），求h（2）的值；
（2）若h（x）=2x²+3x-1由函數f（x）=x²+ax，g（x）=x+b（a，b∈R，且ab≠0）生成，求a+2b的取值范圍；
（3）試利用“基函數f（x）=log₄（4x+1），g（x）=x-1”生成一個函數h（x），使之滿足下列條件：
①是偶函數；②有最小值1；求出函數h（x）的解析式并進一步研究該函數的單調性（無需證明）。

Answer 1

解：（1）設
∵h（x）是偶函數，∴m+n=0，∴h（2）=10m+10n=0
（2）設
∴
由ab≠0知，n≠3，∴
（3）設
∵h（x）是偶函數，∴h（-x）-h（x）=0
即，∴得m=-2n
則
，∵h（x）有最小值則必有n<0，且有-2n=1
∴m=1，n=，
h（x）在[0，+∞）上為增函數，在（-∞，0]上為減函數。