Question

【題目】已知數(shù)列、中，，，且，，設(shè)數(shù)列、的前項和分別為和.

（1）若數(shù)列是等差數(shù)列，求和；

（2）若數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列.

①求；

②是否存在實數(shù)，使對任意自然數(shù)都成立？若存在，求的值；若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）①②存在；實數(shù)

【解析】

（1）由題意得到得到等差數(shù)列的公差是，從而得到和，再分為奇數(shù)和為偶數(shù)，分別求出；

（2）①表由得到，結(jié)合是公比為2的等比數(shù)列，得到答案；

②根據(jù)題意得到，，然后將用中的項表示，從而得到，由，得，從而得到關(guān)于的方程，因為對任意自然數(shù)都成立，所以得到關(guān)于的方程，

解出的值.

解：（1）依題意：時，，

又因數(shù)列是等差數(shù)列，

所以數(shù)列的公差是，

所以，所以.

當是奇數(shù)時，

當是偶數(shù)時，，

所以

（2）①

.

②∵，

，

∴

.

由，得，

即對任意恒成立，

即對任意恒成立，

所以

解得.

即存在實數(shù)使對任意恒成立.