Question

9、已知S={1，2，3，…2010}，A⊆S且A中有三個元素，若A中的元素可構成等差數列，則這樣的集合A共有（　　）

A、C₂₀₁₀³個

B、A³₂₀₁₀個

C、2A²₁₀₀₅個

D、2C²₁₀₀₅個

Answer 1

分析：根據題意，首先將將s中的元素分為2奇數與偶數兩組；假設A中有2個元素為a、b，且a＜b；分析可得，當且進當a、b同是奇數或偶數時；其等差中項在A中；由組合數公式，計算可得答案．

解答：解：根據題意，將s中的元素分為2組，一組為奇數，令一組為偶數；
假設A中有2個元素為a、b，且a＜b；
分析可得，當且進當a、b同是奇數或偶數時；其等差中項在A中；
即在奇數組或偶數組中任取2個元素可以滿足條件；
則若A中的元素可構成等差數列，則這樣的集合A共有2C²₁₀₀₅個；
故選D．

點評：解本題的關鍵在于分析A中的三個元素構成等差數列的充要條件，注意其中可能重復情況的分析與排除．