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        1. 精英家教網 > 高中數學 > 題目詳情
          如圖,在平面內直線EF與線段AB相交于C點,∠BCF=30°,且AC=CB=4,將此平面沿直線EF折成60°的二面角α-EF-β,BP⊥平面α,
          點P為垂足.
          (Ⅰ) 求△ACP的面積;
          (Ⅱ) 求異面直線AB與EF所成角的正切值.
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          分析:(I)在平面α內,過點P作PM⊥EF,點M為垂足,連接BM,則∠BMP為二面角α-EF-β的平面角,由已知中二面角α-EF-β的平面角為60°,結合,∠BCF=30°,且AC=CB=4,求出CP長及sin∠ACP,代入三角形面積公式,即可得到△ACP的面積;
          (Ⅱ)過點A作AQ∥EF,交MP于點Q,則∠BAQ是AB與EF所成的角,且AQ⊥平面BMQ,解三角形△BAQ即可得到AB與EF所成角的正切值.
          解答:精英家教網解:(Ⅰ) 如圖,在平面α內,過點P作PM⊥EF,點M為垂足,
          連接BM,則∠BMP為二面角α-EF-β的平面角.
          在Rt△BMC中,由∠BCM=30°,CB=4,得CM=2
          3
          ,BM=2.
          在Rt△BMP中,由∠BMP=60°,BM=2,得MP=1.在Rt△CMP中,
          由CM=2
          3
          ,MP=1,得CP=
          13
          ,cos∠PCM=
          2
          3
          13
          ,sin∠PCM=
          1
          13

          故 sin∠ACP=sin(150°-∠PCM)=
          3
          3
          2
          13
          .所以S△ACP=3
          3
          .…(7分)
          (Ⅱ) 如圖,過點A作AQ∥EF,交MP于點Q,
          則∠BAQ是AB與EF所成的角,且AQ⊥平面BMQ.
          在△BMQ中,由∠BMQ=60°,BM=MQ=2,得BQ=2.…(10分)
          在Rt△BAQ中,由AQ=AC•cos30°+CM=4
          3
          ,BQ=2,得tan∠BAQ=
          BQ
          AQ
          =
          3
          6

          因此AB與EF所成角的正切值為
          3
          6
          .…(13分)
          點評:本題考查的知識點是與二面角有關的立體幾何綜合題,其中(I)的關鍵是構造出∠BMP為二面角α-EF-β的平面角,進而解三角形求出CP長及sin∠ACP,(II)的關鍵是構造出∠BAQ是AB與EF所成的角.
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          (1)設二面角E-AC-D1的大小為q,若
          π
          4
          ≤θ≤
          π
          3
          ,求t的取值范圍;
          (2)在線段D1E上是否存在點P,使平面PA1C1∥平面EAC,若存在,求出P分
          D1E
          所成的比λ;若不存在,請說明理由.
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          如圖,在平面直坐標系xOy中,已知橢圓C:
          x2
          a2
          +
          y2
          b2
          =1(a>b>0)
          ,經過點(1,e),其中e為橢圓的離心率.且橢圓C與直線y=x+
          3
          有且只有一個交點.
          (Ⅰ)求橢圓C的方程;
          (Ⅱ)設不經過原點的直線l與橢圓C相交與A,B兩點,第一象限內的點P(1,m)在橢圓上,直線OP平分線段AB,求:當△PAB的面積取得最大值時直線l的方程.

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          (Ⅰ)求橢圓的方程;

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          如圖,在平面直坐標系中,已知橢圓,經過點,其中e為橢圓的離心率.且橢圓與直線 有且只有一個交點。

          (Ⅰ)求橢圓的方程;

          (Ⅱ)設不經過原點的直線與橢圓相交與A,B兩點,第一象限內的點在橢圓上,直線平分線段,求:當的面積取得最大值時直線的方程。

           


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          (Ⅰ)求橢圓C的方程;
          (Ⅱ)設不經過原點的直線l與橢圓C相交與A,B兩點,第一象限內的點P(1,m)在橢圓上,直線OP平分線段AB,求:當△PAB的面積取得最大值時直線l的方程.

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