Question

設(shè)m是常數(shù)，集合M={m|m＞1}，f(x)=log3(x2-4mx+4m2+m+

1

m-1

)
（1）證明：當(dāng)m∈M時(shí)，f（x）對(duì)所有的實(shí)數(shù)x都有意義；
（2）當(dāng)m∈M時(shí)，求函數(shù)f（x）的最小值；
（3）求證：對(duì)每個(gè)m∈M，函數(shù)f（x）的最小值都不于1．

Answer 1

分析：（1）化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式為f(x)=log3[(x-2m)2+m+

1

m-1

]，m＞1時(shí)，(x-2m)2+m+

1

m-1

＞0恒成立，故f（x）的定義域?yàn)镽．
（2）設(shè)U=x2-4mx+4m2+m+

1

m-1

，由于y=log₃U是增函數(shù)，故當(dāng)U最小f（x）最小，再由U的最小值為m+

1

m-1

，求得f（x）的最小值．
（3）根據(jù)m∈M時(shí)，m+

1

m-1

=m-1+

1

m-1

+1≥2+1=3，從而證得函數(shù)f（x）的最小值都不小于1．

解答：解：（1）f(x)=log3[(x-2m)2+m+

1

m-1

]，
當(dāng)m∈M，即 m＞1時(shí)，(x-2m)2+m+

1

m-1

＞0恒成立，
故f（x）的定義域?yàn)镽．
（2）設(shè)U=x2-4mx+4m2+m+

1

m-1

，
∵y=log₃U是增函數(shù)，
∴當(dāng)U最小時(shí)f（x）最�。�
而U=(x-2m)2+m+

1

m-1

，顯然當(dāng)x=2m時(shí)，U的最小值為m+

1

m-1

，
此時(shí)f(x)min=log3(m+

1

m-1

)．
（3）m∈M時(shí)，m+

1

m-1

=m-1+

1

m-1

+1≥2+1=3，當(dāng)且僅當(dāng)m-1=1時(shí)，即m=2時(shí)，等號(hào)成立，
所以log3(m+

1

m-1

)≥log3=1，即函數(shù)f（x）的最小值都不小于1．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查基本不等式在最值問題中的應(yīng)用，對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象性質(zhì)的應(yīng)用，屬于中檔題．