Question

【題目】某大型公司為了切實保障員工的健康安全，貫徹好衛(wèi)生防疫工作的相關(guān)要求，決定在全公司范圍內(nèi)舉行一次乙肝普查.為此需要抽驗960人的血樣進行化驗，由于人數(shù)較多，檢疫部門制定了下列兩種可供選擇的方案.

方案①：將每個人的血分別化驗，這時需要驗960次.

方案②：按個人一組進行隨機分組，把從每組個人抽來的血混合在一起進行檢驗，如果每個人的血均為陰性，則驗出的結(jié)果呈陰性，這個人的血就只需檢驗一次（這時認(rèn)為每個人的血化驗一次）；否則，若呈陽性，則需對這個人的血樣再分別進行一次化驗.這樣，該組個人的血總共需要化驗次.

假設(shè)此次普查中每個人的血樣化驗呈陽性的概率為，且這些人之間的試驗反應(yīng)相互獨立.

（1）設(shè)方案②中，某組個人中每個人的血化驗次數(shù)為，求的分布列；

（2）設(shè).試比較方案②中，分別取2，3，4時，各需化驗的平均總次數(shù)；并指出在這三種分組情況下，相比方案①，化驗次數(shù)最多可以平均減少多少次？（最后結(jié)果四舍五入保留整數(shù)）.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）390次

【解析】

（1）根據(jù)概率性質(zhì)可知若每個人的血樣化驗呈陽性的概率為,則每個人的血呈陰性反應(yīng)的概率為.由獨立性事件概率性質(zhì)可得個人的血混合后呈陰性反應(yīng)和呈陽性反應(yīng)的概率.即可由血化驗次數(shù)為得其分布列.

（2）結(jié)合（1）可求得平均每個人化驗次數(shù).當(dāng)時,.將分別取2,3,4,代入平均化驗次數(shù)的表達式,即可求得化驗次數(shù).根據(jù)結(jié)果,即可求得相比方案①,化驗次數(shù)最多平均減少的次數(shù).

（1）設(shè)每個人的血呈陰性反應(yīng)的概率為,則.

所以個人的血混合后呈陰性反應(yīng)的概率為,呈陽性反應(yīng)的概率為.

依題意可知,所以的分布列為：

P

（2）方案②中.

結(jié)合（1）知每個人的平均化驗次數(shù)為：

,

所以當(dāng)時,,此時960人需要化驗的總次數(shù)為662次,

時,,此時960人需要化驗的總次數(shù)為580次,

時,,此時960人需要化驗的次數(shù)總為570次,

即時化驗次數(shù)最多,時次數(shù)居中,時化驗次數(shù)最少

而采用方案①則需化驗960次,

故在這三種分組情況下,相比方案①,當(dāng)時化驗次數(shù)最多可以平均減少次.