Question

如圖，在四棱錐中，底面是邊長為2的正方形，側(cè)面底面，且為等腰直角三角形，，、分別為、的中點.

（1）求證：//平面 ；

（2）若線段中點為,求二面角的余弦值.

 

Answer 1

【答案】

(1)證明見解析（2）

【解析】

試題分析：（1）要證//平面,可證明與平面內(nèi)的一條直線平行,邊結(jié)由中位線定理得這條直線就是.（2）以中點為原點建立空間直角坐標系, 由側(cè)面底面可得為平面的法向量，寫出各點坐標與平面內(nèi)兩條直線所在直線的方向向量從而可求出平面的法向量,求二面角的余弦值可用向量法.

試題解析：（1）證明：連接，

因為是正方形，為的中點，所以過點，且也是 的中點，

因為是的中點，所以中，是中位線，所以 ,

因為平面，平面，所以平面,

（2）取的中點，建如圖坐標系，則相應(yīng)點的坐標分別為

所以

因為側(cè)面底面，為平面的法向量，

設(shè) 為平面的法向量，

則由∴

∴

設(shè)二面角的大小,則為銳角，

則．

即二面角的余弦值為．

考點：1、線面平行的證明；2、二面角的求法.