Question

【題目】設(shè)函數(shù)（），.

（1）求的極值；

（2）當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象恒在直線的上方，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】

（1）求出導(dǎo)函數(shù)，按和分類討論可得；

（2）問題轉(zhuǎn)化為不等式恒成立，對(duì)不等式討論，由于，按和分類討論，時(shí)，由于恒成立，不等式變形為，引入新函數(shù)，.求出導(dǎo)函數(shù)，.討論的根的情況，按此分類得出函數(shù)的單調(diào)性，從而得出結(jié)論．

解：（1）∵，，∴，.

當(dāng)時(shí)，∵，∴，所以在區(qū)間為單調(diào)遞減，所以無極值；

當(dāng)時(shí)，令，解得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，

所以在區(qū)間為遞減，在區(qū)間為遞增，所以當(dāng)時(shí)取得極小值，無極大值.

（2）由題可知，不等式對(duì)恒成立.

當(dāng)時(shí)，取代入上述不等式，此時(shí)，不符合題意；

當(dāng)時(shí)，因?yàn)?/span>在上恒成立，

所以不等式等價(jià)于

令，.則，.

當(dāng)，，所以在遞減，所以，不符合題意；

當(dāng)，即時(shí)，，所以在遞增，所以，，符合題意；

當(dāng)，即且時(shí)，取，當(dāng)時(shí)，必有，所以在上遞減，所以，，不符合題意.

綜上：的取值范圍是.