Question

已知實(shí)數(shù)a滿足0＜a≤2，a≠1，設(shè)函數(shù)f(x)=x³-x²+ax．
(1)當(dāng)a=2時(shí)，求f(x)的極小值；
(2)若函數(shù)g(x)=x³+bx²-(2b+4)x+lnx(b∈R)的極小值點(diǎn)與f(x)的極小值點(diǎn)相同。求證：g(x)的極大值小于等于．

Answer 1

解：（1）當(dāng)a=2時(shí)，f′(x)=x²-3x+2=(x-1)(x-2)，
列表如下：

所以，f(x)的極小值為f(2)=。
（2）f′(x)=x²-(a+1)x+a=(x-1)(x-a)，
g′(x)=3x²+2bx-(2b+4)+=，
令p(x)=3x²+(2b+3)x-1，
①當(dāng)1＜a≤2時(shí)，f(x)的極小值點(diǎn)x=a，
則g(x)的極小值點(diǎn)也為x=a，
所以，p(a)=0，即3a²+(2b+3)a-1=0，即b=，
此時(shí)，g(x)的極大值=g(1)=1+b-(2b+4)=-3-b=-3+=，
由于1＜a≤2，故≤×2--=；
②當(dāng)0＜a＜1時(shí)，f(x)的極小值點(diǎn)x=1，則g(x)的極小值點(diǎn)為x=1，
由于p(x)=0有一正一負(fù)兩實(shí)根，
不妨設(shè)x₂＜0＜x₁，所以0＜x₁＜1，即p(1)=3+2b+3-1＞0，故b＞-，
此時(shí)g(x)的極大值點(diǎn)x=x₁，
有





綜上所述，g(x)的極大值小于等于．