Question

如圖，在四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，側(cè)面AD₁⊥底面ABCD，底面ABCD是邊長為1的正方形，AA₁=2，A₁D=，E、F分別是BC、AC₁的中點(diǎn)．
（I）求證：EF∥平面AA₁B₁B；
（II）求二面角C-A₁C₁-D的大�。�

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）利用三角形中位線性質(zhì)，證明線線平行，可得面面平行，從而可得線面平行；
（Ⅱ）證明DA₁、DA、DC兩兩垂直，建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz，求出平面A₁C₁D的一個法向量，平面ACC₁A₁的法向量為=（x，y，z），利用向量的夾角公式，即可求二面角C-A₁C₁-D的大�。�
解答：（Ⅰ）證明：連接BD，交AC于O，則O是AC的中點(diǎn)，
∴OF∥CC₁，CC₁∥BB₁，∴OF∥BB₁，又OE∥AB，
∴平面OEF∥平面AA₁B₁B，又EF?平面OEF，
∴EF∥平面AA₁B₁B．（4分）
（Ⅱ）解：∵AD=1，AA₁=2，，∴△AA₁D是直角三角形，且A₁D⊥AD，
∵側(cè)面AD₁⊥平面ABCD，∴A₁D⊥平面ABCD，可知DA₁、DA、DC兩兩垂直．（6分）
分別以DA₁、DA、DC為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz，則
D（0，0，0），A（1，0，0），，C（0，1，0），，B（1，1，0），
∴，，，，，（8分）
由，可得平面A₁C₁D的一個法向量，
設(shè)平面ACC₁A₁的法向量為=（x，y，z），
由，取，（10分）
則，
∴二面角C-A₁C₁-D的大小為．（12分）
點(diǎn)評：本題考查線面平行，考查面面角，解題的關(guān)鍵是掌握線面平行的判定方法，正確運(yùn)用向量法解決空間角問題．