Question

已知

a

=(sin(

π

6

-2x)，-1)，

b

=(3，-2)，且函數(shù)f(x)=

a

•

b

，
（1）求f（x）的增區(qū)間；
（2）求f（x）在區(qū)間[-

π

12

，

π

2

]上的最大、最小值及相應(yīng)的x值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題意可求得f（x）=

a

•

b

=-3sin（2x-

π

6

）+2，從而可求得f（x）的增區(qū)間；
（Ⅱ）由-

π

12

≤x≤

π

12

可求得-

π

3

≤2x-

π

6

≤0，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)可求得f（x）在區(qū)間[-

π

12

，

π

2

]上的最大、最小值及相應(yīng)的x值．

解答：解：（1）∵f（x）=

a

•

b

=3sin（

π

6

-2x）+2
=-3sin（2x-

π

6

）+2，
∴由2kπ+

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

3π

2

（k∈Z）可求其遞增區(qū)間為：[kπ+

π

3

，kπ+

5π

6

]（k∈Z）．
（2）∵-

π

12

≤x≤

π

2

，
∴-

π

3

≤2x-

π

6

≤

5π

6

，
∵g（x）=-sinx在[-

π

3

，

π

2

]上單調(diào)遞減，[

π

2

，

5π

6

]上單調(diào)遞增；
∴g（x）_max=g（-

π

3

）=

3

2

，由2x-

π

6

=-

π

3

得，x=-

π

12

；
g（x）_min=g（

π

2

）=-1，由2x-

π

6

=

π

2

得，x=

π

3

．
∴當(dāng)x=-

π

12

，f（x）_max=3×

3

2

+2=

3 3

2

+2；
當(dāng)x=

π

3

時(shí)，f（x）_min=3×（-1）+2=-1．

點(diǎn)評：本題考查正弦函數(shù)的單調(diào)性，以向量的數(shù)量積為載體考查正弦函數(shù)的定義域和值域，求得f（x）=-3sin（2x-

π

6

）+2是解決問題的關(guān)鍵，屬于中檔題．