Question

【題目】如圖，在四棱錐E﹣ABCD中，底面ABCD為矩形，平面ABCD⊥平面ABE，∠AEB=90°，BE=BC，F(xiàn)為CE的中點，
（1）求證：AE∥平面BDF；
（2）求證：平面BDF⊥平面ACE；
（3）2AE=EB，在線段AE上找一點P，使得二面角P﹣DB﹣F的余弦值為 ， 求AP的長．

Answer 1

【答案】證明：（1）設AC∩BD=G，連接FG，易知G是AC的中點，
∵F是EC中點．
∴在△ACE中，F(xiàn)G∥AE，
∵AE平面BFD，F(xiàn)G平面BFD，
∴AE∥平面BFD．…（4分）
（2）∵平面ABCD⊥平面ABE，BC⊥AB，
平面ABCD∩平面ABE=AB，
∴BC⊥平面ABE，又∵AE平面ABE，
∴BC⊥AE，
又∵AE⊥BE，BC∩BE=B，
∴AE⊥平面BCE，即AE⊥BF，
在△BCE中，BE=CB，F(xiàn)為CE的中點，
∴BF⊥CE，AE∩CE=E，
∴BF⊥平面ACE，
又BF平面BDF，
∴平面BDF⊥平面ACE．
（3）如圖建立坐標系，設AE=1，
則B（2，0，0），D（0，1，2），C（2，0，2），F(xiàn)（1，0，1），
設P（0，a，0），=(-2,1,2)，=(-1,0,1)，=(2,-a,0)
設⊥面BDF，且=(x1,y1,z1)
則由⊥得﹣2x1+y1+2z1=0，
由⊥得﹣x1+z1=0，
令z1=1得x1=1，y1=0，從而=(1,0,1)
設⊥面BDP，且=(x2,y2,z2)，則
由⊥得﹣2x2+y2+2z2=0，
由⊥得2x2﹣ay2=0，
令y2=2得x2=a，z2=a﹣1，從而=(a,2,a-1)
==
解得a=0或a=1（舍）
即P在E處．

【解析】（1）根據(jù)線面平行的判定定理即可證明AE∥平面BDF；
（2）根據(jù)面面垂直的判定定理即可證明平面BDF⊥平面ACE；
（3）建立空間坐標系，求出平面的法向量，利用向量法即可得到結論．
【考點精析】認真審題，首先需要了解平面與平面垂直的判定(一個面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直)．