Question

已知△ABC為正三角形，點A，B為橢圓的焦點，點C為橢圓一頂點，則該三角形的面積與橢圓的四個頂點連成的菱形的面積之比為（　　）

• A．

  1

  2

• B．

  1

  4

• C．

  3

  2

• D．

  3

  3

Answer 1

分析：不妨設正三角形ABC的邊長為2，依題意可求得對應的橢圓的短半軸，長半軸及焦距，從而可求得該三角形的面積與橢圓的四個頂點連成的菱形的面積之比．

解答：解：不妨設正三角形ABC的邊長為2，以AB所在的邊為x軸，AB的垂直平分線為y軸建立直角坐標系，
則以A，B為橢圓的焦點，點C為橢圓一頂點的橢圓的方程為：

x2

a2

+

y2

b2

=1，（a＞b＞0）．
依題意，a=2，c=1，
∴b=

22-11

=

3

，
∴橢圓的方程為：

x2

4

+

y2

3

=1，
∴橢圓的四個頂點連成的菱形的面積S=

1

2

×2a×2b=2ab=4

3

；
又S_△ABC=

1

2

|AB|•|AC|•sin60°=

3

，
∴該三角形的面積與橢圓的四個頂點連成的菱形的面積之比為

3

4 3

=

1

4

．
故選B．

點評：本題考查橢圓的簡單性質(zhì)，考查轉(zhuǎn)化與運算的能力，求得橢圓的短半軸，長半軸及焦距是關(guān)鍵，屬于中檔題．