Question

已知函數(shù)f（x）=ln

2x+1

-mx（m∈R）
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）=ln

2x+1

-mx（m∈R）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若函數(shù)2f（x）≤m+1恒成立，求m的取值范圍；
（Ⅲ）當(dāng)m=-1，且0≤b＜a≤1時(shí)，證明：

4

3

＜

f(a)-f(b)

a-b

＜2．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)利用導(dǎo)數(shù)即可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．
（Ⅱ）根據(jù)函數(shù)2f（x）≤m+1恒成立，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值即可求m的取值范圍；
（Ⅲ）當(dāng)m=1時(shí)，構(gòu)造新函數(shù)g（x），對新函數(shù)求導(dǎo)，得到新函數(shù)在[0，1]上遞增，利用遞增函數(shù)的定義，寫出遞增所滿足的條件，在構(gòu)造新函數(shù)h（x），同理得到函數(shù)在[0，1]上遞減，得到遞減的條件，得到結(jié)論

解答：（I）函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?

1

2

，+∞），
f（x）=ln

2x+1

-mx=

1

2

ln(2x+1)-mx，（x＞-

1

2

），
∴f′(x)=

1

1+2x

-m，
∵2x+1＞0，
∴當(dāng)m≤0時(shí)，f'（x）＞0，
當(dāng)m＞0時(shí)，令f'（x）=0，解得x=

1-m

2m

＞-

1

2

，
列表如下：

x	（- 1 2 ， 1-m 2m ）	1-m 2m	（ 1-m 2m ，+∞）
f'（x	+	0	-
f（x）	遞增	極大值	遞減

綜上所述，當(dāng)m≤0，f（x）的增區(qū)間(-

1

2

，+∞)；
當(dāng)m＞0時(shí)，f（x）的增區(qū)間為（-

1

2

，

1-m

2m

），減區(qū)間是（

1-m

2m

，+∞），
（II）若函數(shù)2f（x）≤m+1恒成立，只需要2f（x）的最大值小于等于m+1，
當(dāng)m≤0時(shí)，2f（x）=ln（2x+1）-2mx，
當(dāng)x→+∞，2f（x）→+∞，故不成立．
當(dāng)m＞0時(shí)，由（I）知f（x）有唯一的極大值f（

1-m

2m

），且是極大值，同時(shí)也是最大值．
從而2f（x）≤2f（

1-m

2m

）=ln

1

m

-(1-m)≤m+1，解得m≥

1

e2

，
故函數(shù)2f（x）≤m+1恒成立時(shí)，m的取值范圍[

1

e2

，+∞)．
（III）證明：當(dāng)m=1時(shí)，令g（x）=f（x）-

4

3

x=

1

2

ln（1+2x）-

1

3

x，
g′（x）=

1

1+2x

-

1

3

=

2(1-x)

3(1+2x)

，
在[0，1]上總有g(shù)′（x）≥0，
即g（x）在[0，1]上遞增，
當(dāng)1≥a＞b≥0時(shí)，g（a）＞g（b），
即f（a）-

4

3

a＞f（b）-

4

3

b，
即f(a)-

4

3

a＞f(b)-

4

3

b，
∴

4

3

＜

f(a)-f(b)

a-b

，
令h（x）=f（x）-2x=

1

2

ln（1+2x）-x，
由（Ⅱ）知它在[0，1]上遞減，
∴h（a）＜h（b）
即f（a）-2a＜f（b）-2b，
∴

f(a)-f(b)

a-b

＜2．
綜上所述，當(dāng)m=1，且1≥a＞b≥0時(shí)，

4

3

＜

f(a)-f(b)

a-b

＜2．

點(diǎn)評：本題主要考查函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，考查導(dǎo)數(shù)的基本應(yīng)用，綜合性較強(qiáng)，難度較大．