Question

已知函數(shù)f（x）=x-

2

x

+1-alnx，a＞0
（1）a=1，求曲線在點A（1，f（1））處的切線方程   
 （2）討論f（x）的單調(diào)性；
（3）設(shè)a=3，求f（x）在區(qū)間{1，e²}上值域．期中e=2.71828…是自然對數(shù)的底數(shù)．

Answer 1

分析：（1）先求導(dǎo)函數(shù)，然后求出在x=1處的導(dǎo)數(shù)，得到切線的斜率，最后利用點斜式寫出切線方程，化成斜截式即可；
（2）先令t=

1

x

，則y=2t²-at+1（t≠0），由求導(dǎo)可判斷其單調(diào)性，要注意對參數(shù)的討論，即不能漏掉，也不能重復(fù)．
（3）由（2）所涉及的單調(diào)性來求在區(qū)間上的值域即可．

解答：解：（1）f′（x）=1+

2

x2

-

1

x

f′（1）=2∴曲線在點A（1，f（1））處的切線方程y=2x-2       （3分）
（2）∵f′（x）=1+

2

x2

-

a

x

令t=

1

x

，y=2t²-at+1（t≠0）
①△=a2-8≤0，即：0＜a≤2

2

，y≥0恒成立
∴函數(shù)f（x）在（-∞，0），（0，+∞）上是增函數(shù)
②①△=a2-8＞0，即：a＞2

2

，y=0有兩個根
由2t²-at+1＞0，t＜

a- a2-8

4

或t＞

a+ a2-8

4

0＜x＜

a- a2-8

4

或x＜0或x＞

a+ a2-8

4

由2t²-at+1＜0，

a- a2-8

4

＜t＜

a+ a2-8

4

∴

a- a2-8

4

＜x＜

a+ a2-8

4

綜上：①0＜a≤2

2

，函數(shù)f（x）在（-∞，0），（0，+∞）上是增函數(shù)
②a＞2

2

函數(shù)f（x）在（-∞，0），(0，

a- a2-8

4

)，(

a+ a2-8

4

，+∞)上是增函數(shù)，在 (

a- a2-8

4

，

a+ a2-8

4

)上是減函數(shù)，
（3）當(dāng)a=3時，由（1）知f（x）在（1，2）上是減函數(shù)，在[2，e²]上是增函數(shù)
又f（1）=0，f（2）=2-3ln2＜0，f（e²）=e²-

2

e2

-5＞0
∴f（x）在區(qū)間{1，e²}上值域是[2-3ln2，e²-

2

e2

-5]

點評：本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性及值域，比較復(fù)雜的函數(shù)的單調(diào)性，一般用導(dǎo)數(shù)來研究，將其轉(zhuǎn)化為函數(shù)方程不等式綜合問題解決，研究值域時一定要先確定函數(shù)的單調(diào)性才能求解．