Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=ax2﹣2ax+b（a＞0）在區(qū)間[﹣1，4]上有最大值10和最小值1．設(shè)g（x）= ．
（1）求a、b的值；
（2）證明：函數(shù)g（x）在[ ，+∞）上是增函數(shù)；
（3）若不等式g（2x）﹣k2x≥0在x∈[﹣1，1]上有解，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：f（x）=a（x﹣1）2﹣a+b，（a＞0），

因?yàn)閍＞0，故 ，解得

（2）證明：由已知可得g（x）=x+ ﹣2，設(shè) ≤x1＜x2，

∵g（x1）﹣g（x2）=（x1﹣x2）（1﹣ ）=

∵ ≤x1＜x2，∴x1﹣x2＜0，2＜x1x2，即x1x2﹣2＞0．

∴g（x1）﹣g（x2）＜0，即g（x1）＜g（x2）．

所以函數(shù)g（x）在[ ，+∞）上是增函數(shù)

（3）解：g（2x）﹣k2x≥0可化為2x+ ﹣2≥k2x，

化為1+2 ﹣2 ≥k，

令t= ，則k≤2t2﹣2t+1，

因x∈[﹣1，1]，故t∈[ ，2]，

記h（t）=2t2﹣2t+1，因?yàn)閠∈[ ，2]，故h（t）max=5，

所以k的取值范圍是（﹣∞，5]

【解析】（1）根據(jù)函數(shù)的對(duì)稱軸得到關(guān)于a的方程組，解出即可；（2）先求出g（x）的表達(dá)式，根據(jù)定義證明函數(shù)的單調(diào)性即可；（3）問題轉(zhuǎn)化為1+2 ﹣2 ≥k，令t= ，則k≤2t2﹣2t+1，構(gòu)造新函數(shù)，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性從而求出k的范圍即可．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解函數(shù)單調(diào)性的判斷方法的相關(guān)知識(shí)，掌握單調(diào)性的判定法：①設(shè)x1,x2是所研究區(qū)間內(nèi)任兩個(gè)自變量，且x1＜x2；②判定f(x1)與f(x2)的大小；③作差比較或作商比較，以及對(duì)二次函數(shù)的性質(zhì)的理解，了解當(dāng)時(shí)，拋物線開口向上，函數(shù)在上遞減，在上遞增；當(dāng)時(shí)，拋物線開口向下，函數(shù)在上遞增，在上遞減．