Question

已知非常數(shù)函數(shù)f（x）=log_a

1+kx

1-x

（a＞0，且a≠1）
（1）若f（x）為奇函數(shù)，求k的值．
（2）若f（x）在x∈（1，+∞）上是增函數(shù)，求k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由題意可得f（-2）+f（2）=0，化簡得

1-4k2

-3

=1，由此解得k 的值．
（2）由題意可得，當(dāng)x＞1時(shí)，函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)為 f′（x）=

1-x

1+kx

log_ae＞0．分當(dāng)a＞1時(shí)和當(dāng)
0＜a＜1兩種情況，分別求得k的取值范圍．

解答：解：（1）由于非常數(shù)函數(shù)f（x）=log_a

1+kx

1-x

（a＞0，且a≠1），若f（x）為奇函數(shù)，
則有f（-2）+f（2）=0，即 loga

1-2k

3

+loga

1+2k

-1

=loga

1-4k2

-3

=0，故有

1-4k2

-3

=1，
解得k=1，或k=-1（當(dāng)k=-1時(shí)，函數(shù)為常數(shù)函數(shù)，故舍去）．
綜上可得，k=1．
（2）若f（x）在x∈（1，+∞）上是增函數(shù)，則函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)為 f′（x）=

1-x

1+kx

log_ae＞0．
當(dāng)a＞1時(shí)，由題意可得x＞1時(shí)，

1-x

1+kx

＞0，可得 1+kx＜0，即 k＜

-1

x

，可得k＜-1．
當(dāng) 0＜a＜1時(shí)，由題意可得x＞1時(shí)，

1-x

1+kx

＜0，可得 1+kx＞0，即 k＞

-1

x

，可得k≥0．

點(diǎn)評：本題主要考查對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)的綜合應(yīng)用，屬于中檔題．