Question

【題目】已知橢圓的離心率為，以原點(diǎn)為圓心，橢圓的短半軸為半徑的圓與直線相切.

（1）求橢圓的方程；

（2）設(shè)，，是橢圓上關(guān)于軸對(duì)稱的任意兩個(gè)不同的點(diǎn)，連結(jié)交橢圓于另一點(diǎn)，證明：直線與軸相交于定點(diǎn).

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析

【解析】

（1）求橢圓的方程即求出參數(shù)的值，從條件中列出兩個(gè)關(guān)于的方程，構(gòu)成方程組求解；

（2）設(shè)出，，三點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)出直線方程，運(yùn)用 “設(shè)而不求”的思想方法，用表示出，，借助，表示直線與軸的交點(diǎn)，進(jìn)而代入求解出點(diǎn)坐標(biāo).

解：（1）因?yàn)?/span>，

所以，

設(shè)以原點(diǎn)為圓心，橢圓的短半軸為半徑的圓方程為，

則圓心到直線的距離，

解得，代入中，

即，

解得：，

故橢圓的方程為，

（2）設(shè)，，

由題知斜率肯定存在，設(shè)直線方程為，

聯(lián)立，

整理得，

則，，

直線的方程為：，

令，

則，

將，代入

得，

所以，

故直線過定點(diǎn).