Question

已知函數(shù)f（x）=x+sinx（x∈R），且f （y²-6y+11）+f （x²-8x+10）≤0，則當(dāng)y≥3時(shí)，函數(shù)F（x，y）=

x2+y2+2x+1

的最小值和最大值分別為（　　）

• A．3

  2

  ，2+

  34

• B．3

  2

  ，

  34

• C．

  13

  ，2+

  34

• D．3

  2

  ，7

Answer 1

分析：先確定函數(shù)為奇函數(shù)、增函數(shù)，從而可得（x-4）²+（y-3）²≤4表示圓心在（4，3）半徑為2的圓面，再利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，即可得到結(jié)論．

解答：解：∵f（x）=x+sinx，∴f（-x）=-x-sinx=-f（x），∴函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，
∵f （y²-6y+11）+f （x²-8x+10）≤0，∴f（y²-6y+11）≤f（-x²+8x-10），
又f′（x）=1+cosx≥0，∴函數(shù)f（x）為增函數(shù)，
∴y²-6y+11≤-x²+8x-10 即（x-4）²+（y-3）²≤4表示圓心在（4，3）半徑為2的圓面．
當(dāng)y≥3時(shí)，F(xiàn)（x，y）=

(x+1)2+y2

的最大值為2+

34

，最小值是圓上的點(diǎn)（2，3）到點(diǎn)（-1，0）的距離，即3

2

．
故選A．

點(diǎn)評：本題考查函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性的結(jié)合，考查距離公式的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．