Question

已知a∈R，a≠1，函數(shù)
（1）判斷函數(shù)在區(qū)間（-1，+∞）上的單調(diào)性，并用定義證明你的結(jié)論；
（2）求函數(shù)在[1，4]上的最值．

Answer 1

解：（1）當(dāng)a＞1時(shí)，a-1＞0，f（x₁）-f（x₂）＜0，函數(shù)f（x）為增函數(shù)；
當(dāng)a＜1時(shí)，a-1＜0，f（x₁）-f（x₂）＞0，函數(shù)f（x）為減函數(shù)．
下面證明：
任取-1＜x₁＜x₂，則f（x₁）-f（x₂）=
==，
∵-1＜x₁＜x₂，∴x₁+1＞0，x₂+1＞0，x₁-x₂＜0
故當(dāng)a＞1時(shí)，a-1＞0，f（x₁）-f（x₂）＜0，函數(shù)f（x）為增函數(shù)；
當(dāng)a＜1時(shí)，a-1＜0，f（x₁）-f（x₂）＞0，函數(shù)f（x）為減函數(shù)．
（2）由（1）可知：當(dāng)a＞1時(shí)，函數(shù)f（x）為增函數(shù)；當(dāng)a＜1時(shí)，函數(shù)f（x）為減函數(shù)．
故當(dāng)a＞1時(shí)，函數(shù)f（x）在[1，4]上的最小值為f（1）=，最大值為f（4）=；
當(dāng)a＜1時(shí)，函數(shù)f（x）在[1，4]上的最大值為f（1）=，最小值為f（4）=．
分析：（1）任取-1＜x₁＜x₂，則f（x₁）-f（x₂）===，由此式展開討論，可得結(jié)果；
（2）利用（1）的結(jié)論，結(jié)合最值的定義，易得答案．
點(diǎn)評：本題為函數(shù)的簡單應(yīng)用：（1）為定義法證明函數(shù)的單調(diào)性，（2）為利用（1）的結(jié)論來求最值，兩步均需注意分類討論．