Question

己知橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，它的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線x²=4y的焦點(diǎn)之間的距離為，離心率e=，過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)廠做一條與坐標(biāo)軸不垂直的直線L交橢圓于A，B兩點(diǎn)．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)點(diǎn)M（m，0）是線段OF₁上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且（+）⊥，求m的取值范圍．

Answer 1

解：（1）拋物線的焦點(diǎn)為（0，1），設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)（c，0 ），則由題意可得 =，
∴c=2，∴再由離心率可得 a=，b=1，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 =1．
（2）設(shè)直線l的方程為 y=k（x+2），代入橢圓的方程化簡(jiǎn)可得 （1+5k²）x²+20k²x-5=0，
∴x₁+x₂=，x₁•x₂=，
∴（+）=（x₁-m，y₁）+（x₂-m，y₂ ）=（x₁+x₂-2m，y₁+y₂ ）．
由（+）⊥，可得 （+）•=（x₁+x₂-2m，y₁+y₂ ）•（x₂-x₁，y₂-y₁）
=（x₁+x₂-2m）（x₂-x₁）+（y₂+y₁）（y₂-y₁）=0，
化簡(jiǎn)可得 x₁+x₂-2m+k²（x₁+x₂+4）=0，∴2m=4k²-，
∴m=-=-．∵k²＞0，∴0＜＜，
∴-＜m＜0． 故m的取值范圍是[-，0）．
分析：（1）根據(jù)題意設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)（c，0 ），則由題意可得 =，求出c值，由離心率可得 a，求出b值，即得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（2）設(shè)直線l的方程為 y=k（x+2），代入橢圓的方程化簡(jiǎn)，把根與系數(shù)的關(guān)系代入（+）•=0，解得 m=-=-，再利用不等式的性質(zhì)求出m的取值范圍．
點(diǎn)評(píng)：本題考查求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，兩個(gè)向量的數(shù)量積公式，不等式的性質(zhì)，求出m=-=-，是解題的關(guān)鍵，
屬于中檔題．