Question

【題目】已知點(diǎn)是圓：上一動(dòng)點(diǎn)，線段與圓：相交于點(diǎn).直線經(jīng)過，并且垂直于軸，在上的射影點(diǎn)為.

（1）求點(diǎn)的軌跡的方程；

（2）設(shè)圓與軸的左、右交點(diǎn)分別為，，點(diǎn)是曲線上的點(diǎn)（點(diǎn)與，不重合），直線，與直線：分別相交于點(diǎn)，，求證：以直徑的圓經(jīng)過定點(diǎn).

Answer 1

【答案】（1）（2）見證明

【解析】

(1)設(shè)點(diǎn)，,由已知條件找到兩點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系，然后利用相關(guān)點(diǎn)法即可求得點(diǎn)E的軌跡方程；（2）根據(jù)已知條件設(shè)直線AP,BP的方程，當(dāng)x=4時(shí)可得點(diǎn)M,N的坐標(biāo)，從而可得以MN為直徑的圓的方程，整理即得圓經(jīng)過的定點(diǎn).

（1）設(shè)點(diǎn)，.

當(dāng)時(shí)，易得；

當(dāng)時(shí)，有，所以.又，所以.

代入的方程，得，即.

（2）證明：設(shè)直線，的斜率分別為，，記.

則 ，.

直線的方程為，所以.

直線的方程為，所以.

以為直徑的圓的方程為.

整理，得 .

令解得或

所以以為直徑的圓過定點(diǎn)，.