Question

【題目】已知函數(shù)，.

（1）求函數(shù)的極值；

（2）①討論函數(shù)的單調(diào)性；

②求證：.

Answer 1

【答案】(1)見解析；(2)見證明

【解析】

（1）先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，求出其單調(diào)區(qū)間，即可得出其極值；

（2）①對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，可得，由（1）的結(jié)果，即可確定函數(shù)的單調(diào)性；

②由①可知，函數(shù)在定義域上單調(diào)遞減，進(jìn)而可得對(duì)任意恒成立，再令（，且），代入不等式整理即可得出結(jié)論成立.

解：（1）.

令，得；令，得，

所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減.

所以-1是函數(shù)的一個(gè)極大值點(diǎn)，即，無極小值.

（2）①函數(shù)的定義域?yàn)?/span>.

，

由（1）得，的最大值為其極大值，

所以的最大值為.

所以對(duì)一切，都有.

所以函數(shù)在定義域上單調(diào)遞減.

②由①可知，函數(shù)在定義域上單調(diào)遞減，

則當(dāng)時(shí)，，

即對(duì)任意恒成立.

令（，且），得，

得，

得，

得，所以，即.

令，即得.