Question

【題目】已知函數(shù)，各項(xiàng)均不相等的數(shù)列滿足．令．給出下列三個(gè)命題：

(1)存在不少于3項(xiàng)的數(shù)列，使得；

(2)若數(shù)列的通項(xiàng)公式為，則對(duì)恒成立；

(3)若數(shù)列是等差數(shù)列，則對(duì)恒成立．

其中真命題的序號(hào)是（ ）

A.(1)(2)B.(1)(3)C.(2)(3)D.(1)(2)(3)

Answer 1

【答案】D

【解析】

由題意得是奇函數(shù)，只需考查時(shí)，的奇偶性，而和都在上是增函數(shù)，所以在上是增函數(shù)，即時(shí)，
對(duì)于（1），取即可判斷；

對(duì)于（2），運(yùn)用等比數(shù)列的求和公式和三角函數(shù)的性質(zhì)，即可判斷；
對(duì)于（3），運(yùn)用等差數(shù)列的性質(zhì)和函數(shù)的性質(zhì)，以及不等式的性質(zhì)，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，即可判斷．

由題意得，所以是奇函數(shù)，只需考查時(shí)，的奇偶性，而和都在上是增函數(shù)，所以在上是增函數(shù)；

所以在上是增函數(shù).設(shè)，

若，則 即，

若，則 即，

∴時(shí)，
對(duì)于（1），取則因此（1）正確；
對(duì)于（2），∵，∴ ，
又時(shí)，

，

令，則，

所以，

因?yàn)?/span>，所以，所以，

所以，即，

所以，所以，

又因?yàn)?/span>，

所以，即對(duì)于恒成立，故（2）正確；
對(duì)于（3），因?yàn)閿?shù)列是等差數(shù)列，若 ，
若則，可得 相加即可得到，所以

若則，可得

相加即可得到，所以
故（3）正確．
故選：D．