Question

（2011•寧德模擬）已知橢圓E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的焦點為F₁，F(xiàn)₂，離心率為

2

2

，直線l：x+2y-2=0與x軸，y軸分別交于點A，B．
（Ⅰ）若點A是橢圓E的一個頂點，求橢圓E的方程；
（Ⅱ）若線段AB上存在點P滿足|PF₁+PF₂|=2a，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）因為直線l：x+2y-2=0與x軸，y軸分別交于點A，B，可求出A，B點坐標(biāo)，再根據(jù)點A是橢圓E的一個頂點，求出a=2，
根據(jù)（Ⅱ橢圓的離心率為

2

2

，求出c值，再根據(jù)a，b，c的關(guān)系求出b的值，得到橢圓E的方程．
（Ⅱ）因為線段AB上存在點P滿足|PF₁+PF₂|=2a，則P為線段AB與橢圓的一個交點，也即線段E與橢圓E有公共點．所以若聯(lián)立方程，則方程組有解，可通過判斷方程組何時在[0，2]上有解來求a的范圍．

解答：解：解法一：（Ⅰ）由橢圓的離心率為a=

2

b，故a=

2

b，
由A（2，0），得，∴b=

2

，
所以所求的橢圓方程為

x2

4

+

y2

2

=1．
（Ⅱ）由e=

2

2

，可設(shè)橢圓方程為

x2

2b2

+

y2

b2

=1，
聯(lián)立

x2 2b2 + y2 b2 =1 x+2y-2=0

得

3

2

x2-2x+2-2b2=0，
已知線段E上存在點E滿足E，即線段E與橢圓E有公共點，
等價于方程

3

2

x2-2x+2-2b2=0在x∈[0，2]上有解．
∴a2=2b2=

3

2

x2-2x+2=

3

2

(x-

2

3

)2+

4

3

，
由x∈[0，2]，故

4

3

≤a2≤4，
故所求的a的取值范圍是

2 3

3

≤a≤2．

點評：本題考查了橢圓方程的求法，以及直線與橢圓關(guān)系的判斷，做題時要認(rèn)真分析，避免出錯．