Question

若方程x²+y²+kx+2y+k²-11=0表示的曲線是圓，則實數k的取值范圍是

（-4，4）

．如果過點（1，2）總可以作兩條直線和圓x²+y²+kx+2y+k²-11=0相切，則實數k的取值范圍是

（-4，-2）∪（1，4）

．

Answer 1

分析：圓的一般方程化為標準方程可得 (x+

k

2

)2+（y+1）²=

48-3k2

4

，故

48-3k2

4

＞0，由此求出實數k的取值范圍．
根據過點（1，2）總可以作兩條直線和圓x²+y²+kx+2y+k²-11=0相切，可得點在圓的外部，故

48-3k2

4

＞0，且(1+

k

2

)2+（2+1）²＞

48-3k2

4

，解不等式求得k的取值范圍．

解答：解：方程x²+y²+kx+2y+k²-11=0 即 (x+

k

2

)2+（y+1）²=

48-3k2

4

，由于它表示的曲線是圓，∴

48-3k2

4

＞0，
解得-4＜k＜4．
圓x²+y²+kx+2y+k²-11=0 即 (x+

k

2

)2+（y+1）²=

48-3k2

4

．
如果過點（1，2）總可以作兩條直線和圓x²+y²+kx+2y+k²-11=0相切，則點（1，2）一定在圓x²+y²+kx+2y+k²-11=0的外部，
∴

48-3k2

4

＞0，且(1+

k

2

)2+（2+1）²＞

48-3k2

4

． 解得-4＜k＜-2，或1＜k＜4．
故答案為：（-4，4），（-4，-2）∪（1，4）．

點評：本題主要考查圓的標準方程和一般方程，點和圓的位置關系的應用，體現(xiàn)了等價轉化的數學思想．