Question

【題目】如圖所示，三棱柱A1B1C1﹣ABC的側(cè)棱AA1⊥底面ABC，AB⊥AC，AB=AA1 ， D是棱CC1的中點．

（Ⅰ）證明：平面AB1C⊥平面A1BD；
（Ⅱ）在棱A1B1上是否存在一點E，使C1E∥平面A1BD？并證明你的結(jié)論．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵AA1⊥底面ABC，AC平面ABC，∴AA1⊥AC，

又∵AB⊥AC，AA1∩AB=A，∴AC⊥平面ABB1A1，

又∵A1B平面ABB1A1，∴AC⊥A1B，

∵AB=AA1，∴A1B⊥AB1，

又∵AB1∩AC=A，∴A1B⊥平面AB1C，

又∵A1B平面A1BD，∴平面AB1C⊥平面A1BD．

（Ⅱ）當(dāng)E為A1B1的中點時，C1E∥平面A1BD．下面給予證明．

設(shè)AB1∩A1B=F，連接EF，F(xiàn)D，C1E，

∵EF= AA1，EF∥AA1，且C1D= AA1，C1D∥AA1，

∴EF∥C1D，且EF=C1D，

∴四邊形EFDC1是平行四邊形，

∴C1E∥FD，又∵C1E平面A1BD，F(xiàn)D平面A1BD，

∴C1E∥平面A1BD．

【解析】（Ⅰ）本小題利用“如果一個平面過另一個平面的一條垂線，那么這兩個平面互相垂直”；（Ⅱ）證明一條直線平行于一個平面只需證明在平面內(nèi)有一條直線與該直線平行即可.
【考點精析】通過靈活運用直線與平面平行的判定和平面與平面垂直的判定，掌握平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行；一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直即可以解答此題．