Question

直四棱柱中，底面為菱形，且為延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，面.設(shè).

(Ⅰ)求二面角的大小；

(Ⅱ)在上是否存在一點(diǎn)，使面?若存在，求的值;不存在，說(shuō)明理由.

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）存在點(diǎn)使面此時(shí)

【解析】

試題分析：本題主要以直三棱柱為幾何背景考查線線垂直、線面垂直、線面平行和二面角的求法，可以運(yùn)用空間向量法求解，突出考查空間想象能力和計(jì)算能力.第一問(wèn)，第一問(wèn)，通過(guò)對(duì)題目的分析建立空間直角坐標(biāo)系，得到點(diǎn)和向量的坐標(biāo)，先由線面垂直得出平面的法向量為，再利用，，求出平面的法向量，最后利用夾角公式求出夾角余弦值，通過(guò)觀察判斷確定二面角為銳角；第二問(wèn)，先假設(shè)存在，利用共線向量，得到與的關(guān)系，從而得到的坐標(biāo)，下面求的坐標(biāo)，利用第一問(wèn)中的和的坐標(biāo)計(jì)算的坐標(biāo)，如果平面，則與平面的法向量垂直，所以，利用這個(gè)方程解題，如果有解，則存點(diǎn)，若無(wú)解，則不存在點(diǎn).

試題解析：(Ⅰ)設(shè)與交于，如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，

則設(shè)

則

平面

即           2分

設(shè)平面的法向量為 

則由 得   令

平面的一個(gè)法向量為

又平面的法向量為

∴二面角大小為           6分

(Ⅱ)設(shè)得

   10分

面

存在點(diǎn)使面此時(shí)         12分

考點(diǎn)：1.空間向量法；2.線面垂直；3.夾角公式；4.向量垂直的充要條件.