Question

例4．若正數a，b，c滿足a+b+c=1，求證：(a+

1

a

)2+(b+

1

b

)2+(c+

1

c

)2≥

100

3

．

Answer 1

分析：首先根據題意設出a，b，c的值，然后分別分析a²+b²+c²，與

1

a2

+

1

b2

+

1

c2

的取值范圍，最后化簡(a+

1

a

)2+(b+

1

b

)2+(c+

1

c

)2即可求證結論成立．

解答：解：∵若正數a，b，c滿足a+b+c=1
∴設a=

1

3

+x，b=

1

3

+y，c=

1

3

+z（其中x+y+z=0）
∴a²+b²+c²
=

1

3

+2（x+y+z）+x²+y²+z²≥

1

3

∵

1

a2

+

1

b2

+

1

c2

≥3×(

1

(abc)2

)

1

3

又∵1=a+b+c≥3(abc)

1

3

∴abc≤

1

27

∴

1

a2

+

1

b2

+

1

c2

≥3×(

1

(abc)2

)

1

3

≥27
∴(a+

1

a

)2+(b+

1

b

)2+(c+

1

c

)2
=a²+b²+c²+

1

a2

+

1

b2

+

1

c2

+6
≥

1

3

+27+6
=

100

3

∴(a+

1

a

)2+(b+

1

b

)2+(c+

1

c

)2≥

100

3

．

點評：本題考查不等式的證明，通過對需要證明的不等式進行化簡，分塊進行證明．涉及基本不等式以及不等式的轉換，需要對知識熟練掌握并運用，屬于基礎題．