Question

【題目】已知橢圓的兩個焦點分別為，，以橢圓短軸為直徑的圓經(jīng)過點.

（1）求橢圓的方程；

（2）過點的直線與橢圓相交于兩點，設(shè)直線的斜率分別為，問是否為定值？并證明你的結(jié)論.

Answer 1

【答案】（1）;（2）為定值2.

【解析】

試題分析：（1）由以橢圓短軸為直徑的圓經(jīng)過點可得，由焦點坐標(biāo)得，所以，從而可求出橢圓方程；（2）當(dāng)直線的斜率不存在時,求出點的坐標(biāo)，可求得；當(dāng)當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為,代入橢圓方程得,則，，計算的值即可.

試題解析：（1）由已知得：，由已知易得，解得，則橢圓的方程為.

（2）①當(dāng)直線的斜率不存在時，由，解得，設(shè)，.

②當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為，將代入整理化簡，得

，

依題意，直線與橢圓必相交于兩點，設(shè)，則，，

又，，

所以

綜上得：為定值2.

（說明：若假設(shè)直線為，按相應(yīng)步驟給分）