Question

（2012•東城區(qū)模擬）已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，離心率為

2

2

．以原點(diǎn)為圓心，橢圓的短軸長(zhǎng)為直徑的圓與直線x-y+

2

=0相切．
（Ⅰ） 求橢圓C的方程；
（Ⅱ） 如圖，若斜率為k（k≠0）的直線l與x軸、橢圓C順次相交于點(diǎn)A，M，N（A點(diǎn)在橢圓右頂點(diǎn)的右側(cè)），且∠NF₂F₁=∠MF₂A．
（ⅰ）求證：直線l過(guò)定點(diǎn)（2，0）；
（ⅱ）求斜率k的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）由題意知e=

c

a

及c²=a²-b²可得a，b之間的關(guān)系，由圓與直線相切的性質(zhì)可求b，進(jìn)而可求a，從而可求橢圓的方程
（II）由題意可設(shè)直線l的方程為y=kx+m（k≠0），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．，聯(lián)立直線與橢圓方程，根據(jù)方程有根的條件可得△＞0，從而可得關(guān)于m，k的不等式，然后根據(jù)方程的根與系數(shù)關(guān)系可求則x₁+x₂，x₁x₂，由∠NF₂F₁=∠MF₂A．可得KMF2+KNF2=0，根據(jù)直線的斜率公式代入可求m，k的關(guān)系，然后代入已知不等式即可求解k的范圍

解答：解：（I）由題意知e=

c

a

=

2

2

，
所以e2=

c2

a2

=

a2-b2

a2

=

1

2

．即a²=2b²．
又因?yàn)閎=

2

1+1

=1，所以a²=2，b²=1．
故橢圓C的方程為

x2

2

+y2=1（5分）
（II）由題意，設(shè)直線l的方程為y=kx+m（k≠0），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）.

y=kx+m x2+2y2=2

得(2k2+1)x2+4kmx+(2m2-2)=0．
由△=16k²m²-4（2k²+1）（2m²-2）＞0，得m²＜2k²+1．
則有x1+x2=

-4km

2k2+1

，x1x2=

2m2-2

2k2+1

．（7分）
因?yàn)椤螻F₂F₁=∠MF₂A，且∠MF₂A≠90°，
所以kMF2+kNF2=0，又F2(1，0)（8分）

y1

x1-1

+

y2

x2-1

=0，即

kx1+m

x1-1

+

kx2+m

x2-1

=0．
化簡(jiǎn)得：2kx₁x₂+（m-k）（x₁+x₂）-2m=0．
將x1+x2=

-4km

2k2+1

，x1x2=

2m2-2

2k2+1

代入上式得m=-2k（滿足△＞0）．
直線l的方程為y=kx-2k，即直線過(guò)定點(diǎn)（2，0）（12分）
將m=-2k代入m²＜2k²+1．得 4k²＜2k²+1．且k≠0
直線l的斜率k的取值范圍是(-

2

2

，0)∪(0，

2

2

)．（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了由橢圓的性質(zhì)求解橢圓的方程及直線與橢圓位置關(guān)系的應(yīng)用，方程的根與系數(shù)關(guān)系的應(yīng)用，屬于圓錐曲線知識(shí)的綜合應(yīng)用