Question

已知S_n是正項(xiàng)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，且是與（a_n+1）²的等比中項(xiàng)．
（1）求證：數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列；
（2）若，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n；
（3）若對(duì)一切正整數(shù)n恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

解：（1）當(dāng) n≥2時(shí)，，
兩式相減，整理得（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0，由于數(shù)列{a_n}是正項(xiàng)數(shù)列，∴a_n-a_n-1=2，又a₁=1，所以數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)a₁=1，d=2的等差數(shù)列，a_n=2n-1；
（2），
相減化簡(jiǎn)得
（3）∵
當(dāng)n=1，b₂＞b₁，當(dāng)n≥2，b_n+1＜b_n，故當(dāng)n=2時(shí)，b₂取到最大值．
又對(duì)一切正整數(shù)n恒成立，即
解得m≤-1或m≥5
分析：（1）由是與（a_n+1）²的等比中項(xiàng)，可得，兩式相減可求．
（2），故用裂項(xiàng)求和法求解；
（3）先求數(shù)列{b_n}的最大值，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為解不等式．從而求出參數(shù)范圍．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查等差數(shù)列的定義，裂項(xiàng)求和法及借助于最值解決恒成立問(wèn)題，屬于中檔題．