Question

已知函數(shù)f(x)＝aln(2x＋1)＋bx＋1.

(1)若函數(shù)y＝f(x)在x＝1處取得極值，且曲線y＝f(x)在點(0，f(0))處的切線與直線2x＋y－3＝0平行，求a的值；

(2)若b＝，試討論函數(shù)y＝f(x)的單調(diào)性．

 

Answer 1

（1）（2）當a≥0時，函數(shù)f(x)在區(qū)間為增函數(shù)；當a<0時，函數(shù)f(x)在區(qū)間為增函數(shù)；在區(qū)間為減函數(shù)．

【解析】(1)函數(shù)f(x)的定義域為，f′(x)＝＋b＝，

由題意可得解得所以.

(2)若b＝，則f(x)＝aln(2x＋1)＋x＋1，

所以f′(x)＝，

1°　令f′(x)＝>0，由函數(shù)定義域可知，4x＋2>0，所以2x＋4a＋1>0，

①當a≥0時，x∈，f′(x)>0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增；

②當a<0時，x∈，f′(x)>0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增．

2°　令f′(x)＝<0，即2x＋4a＋1<0，

①當a≥0時，不等式f′(x)<0無解；

②當a<0時，x∈，f′(x)<0，函數(shù)f′(x)單調(diào)遞減．

綜上，當a≥0時，函數(shù)f(x)在區(qū)間為增函數(shù)；當a<0時，函數(shù)f(x)在區(qū)間為增函數(shù)；在區(qū)間為減函數(shù)