Question

已知α為銳角，且tanα=

2

-1，函數(shù)f(x)=2xtan2α+sin(2α+

π

4

)，數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)a₁=1，a_n+1=f（a_n）．
（1）求函數(shù)f（x）的表達(dá)式；
（2）求證：數(shù)列{a_n+1}為等比數(shù)列；
（3）求數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

分析：（1）由tan2α=

2tanα

1-tan2α

，將tanα=

2

-1代入可求解，由α為銳角，得α=

π

8

，從而計(jì)算得sin(2α+

π

4

)=1進(jìn)而求得函數(shù)表達(dá)式．
（2）由a_n+1=2a_n+1，變形得a_n+1+1=2（a_n+1），由等比數(shù)列的定義可知數(shù)列{a_n+1}是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列．
（3）由（2）得a_n=2ⁿ-1，轉(zhuǎn)化為一個(gè)等比數(shù)列與一個(gè)等差數(shù)列的和的形式，可計(jì)算得Sn=

2(1-2n)

1-2

-n=2n+1-n-2．

解答：解：（1）∵tan2α=

2tanα

1-tan2α

=

2( 2 -1)

1-( 2 -1)2

=1
又∵α為銳角
∴α=

π

8

∴sin(2α+

π

4

)=1
∴f（x）=2x+1
（2）∵a_n+1=2a_n+1，∴a_n+1+1=2（a_n+1）
∵a₁=1
∴數(shù)列{a_n+1}是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列．
（3）由上步可得a_n+1=2ⁿ，∴a_n=2ⁿ-1
∴Sn=

2(1-2n)

1-2

-n=2n+1-n-2

點(diǎn)評：本題主要考查數(shù)列與三角函數(shù)的綜合運(yùn)用，主要涉及了倍角公式，求函數(shù)解析式，證明數(shù)列以及前n項(xiàng)和．