Question

【題目】如圖1，在△中， ， ， 分別為邊的中點，點分別為線段的中點．將△沿折起到△的位置，使．點為線段上的一點，如圖2．

（Ⅰ）求證： ；

（Ⅱ）線段上是否存在點使得平面？若存在，求出的長，若不存在，請說明理由；

（Ⅲ）當時，求直線與平面所成角的大小．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）在線段上存在中點，使平面．

且（3）

【解析】試題分析：（1）先根據等腰三角形性質得．再由折疊中不變的垂直關系得，根據線面垂直判定定理得平面，即得 ．最后再根據線面垂直判定定理得平面，即得．（2）利用空間向量研究線面平行關系，即通過平面法向量與直線方向向量垂直進行研究，先根據條件建立空間直角坐標系，設立各點坐標，利用方程組解出平面法向量，利用向量數量積求直線方向向量與法向量夾角，最后根據平面法向量與直線方向向量數量積為零列式求解參數.（3）利用空間向量求線面角，仍是先根據條件建立空間直角坐標系，設立各點坐標，利用方程組解出平面法向量，利用向量數量積求直線方向向量與法向量夾角，最后根據線面角與向量夾角之間互余關系列式求線面角大小.

試題解析：解：（Ⅰ）

因為，

所以△為等邊三角形．

又因為點為線段的中點，

所以．

由題可知，

所以平面．

因為平面，所以 ．

又，所以平面．

所以．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知平面， ，如圖

建立空間直角坐標系，則， ，

， ， ， ．

設平面的一個法向量為，

,，

所以即

令，所以，所以

假設在線段上存在點，使img src="http://thumb.zyjl.cn/questionBank/Upload/2017/12/29/14/e30bb3b0/SYS201712291439006281273551_DA/SYS201712291439006281273551_DA.053.png" width="39" height="21" style="-aw-left-pos:0pt; -aw-rel-hpos:column; -aw-rel-vpos:paragraph; -aw-top-pos:0pt; -aw-wrap-type:inline" />平面．

設， .

又，所以．

所以.則.

所以.

解得， .

則在線段上存在中點，使平面．

且

（Ⅲ）因為，又，所以．

所以．又因為，

所以．

因為設直線與平面所成角為，

則

直線與平面所成角為.