Question

已知函數(shù)f（x）=ln|x|（x≠0），函數(shù)g（x）=

1

f′(x)

+af'（x）（x≠0）
（1）當(dāng)x≠0時(shí)，求函數(shù)y=g（x）的表達(dá)式；
（2）若a＞0，函數(shù)y=g（x）在（0，+∞）上的最小值是2，求a的值；
（3）在（2）的條件下，求直線y=

2

3

x+

7

6

與函數(shù)y=g（x）的圖象所圍成圖形的面積．

Answer 1

分析：（1）分情況討論x的取值化簡絕對值，求出f′（x）得到x＞0和x＜0導(dǎo)函數(shù)相等，代入到g（x）中得到即可；
（2）根據(jù)基本不等式得到g（x）的最小值即可求出a；
（3）先聯(lián)立直線與函數(shù)解析式求出交點(diǎn)，利用定積分求直線和函數(shù)圖象圍成面積的方法求出即可．

解答：解：（1）∵f

x

=ln|x|，
∴當(dāng)x＞0時(shí)，f

x

=lnx；當(dāng)x＜0時(shí)，f

x

=ln

-x

∴當(dāng)x＞0時(shí)，f′

x

=

1

x

；當(dāng)x＜0時(shí)，f′

x

=

1

-x

•

-1

=

1

x

．
∴當(dāng)x≠0時(shí)，函數(shù)y=g

x

=x+

a

x

．
（2）∵由（1）知當(dāng)x＞0時(shí)，g

x

=x+

a

x

，
∴當(dāng)a＞0，x＞0時(shí)，g

x

≥2

a

當(dāng)且僅當(dāng)x=

a

時(shí)取等號(hào)．
∴函數(shù)y=g

x

在

0，+∞

上的最小值是2

a

，∴依題意得2

a

=2∴a=1．
（3）由

y= 2 3 x+ 7 6 y=x+ 1 x

解得

x1= 3 2 y1= 13 6

，

x2=2 y2= 5 2

∴直線y=

2

3

x+

7

6

與函數(shù)y=g

x

的圖象所圍成圖形的面積S=

∫

2   3 2

[

2 3 x+ 7 6

-

x+ 1 x

]dx=

24

7

+ln3-ln4．

點(diǎn)評：考查學(xué)生導(dǎo)數(shù)運(yùn)算的能力，理解函數(shù)最值及幾何意義的能力，利用定積分求平面圖形面積的能力．