Question

已知圓O：x²+y²=4，點(diǎn)P為直線l：x=4上的動(dòng)點(diǎn)．
（Ⅰ）若從P到圓O的切線長為2

3

，求P點(diǎn)的坐標(biāo)以及兩條切線所夾劣弧長；
（Ⅱ）若點(diǎn)A（-2，0），B（2，0），直線PA，PB與圓O的另一個(gè)交點(diǎn)分別為M，N，求證：直線MN經(jīng)過定點(diǎn)（1，0）．

Answer 1

分析：根據(jù)題意，設(shè)P（4，t）．
（I）設(shè)兩切點(diǎn)為C，D，則OC⊥PC，OD⊥PD，由題意可知|PO|²=|OC|²+|PC|²，即42+t2=22+(2

3

)2，解得t=0，所以點(diǎn)P坐標(biāo)為（4，0），由此能夠求出兩切線所夾劣弧長．
（II）設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），Q（1，0），依題意，直線PA經(jīng)過點(diǎn)A（-2，0），P（4，t），可以設(shè)AP：y=

t

6

(x+2)，和圓x²+y²=4聯(lián)立，代入消元得到，（t²+36）x²+4t²x+4t²-144=0，因?yàn)橹本�AP經(jīng)過點(diǎn)A（-2，0），M（x₁，y₁），所以-2，x₁是方程的兩個(gè)根，然后由根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行求解．

解答：解：根據(jù)題意，設(shè)P（4，t）．
（I）設(shè)兩切點(diǎn)為C，D，則OC⊥PC，OD⊥PD，
由題意可知|PO|²=|OC|²+|PC|²，即42+t2=22+(2

3

)2，（2分）
解得t=0，所以點(diǎn)P坐標(biāo)為（4，0）．（3分）
在Rt△POC中，易得∠POC=60°．（4分）
所以兩切線所夾劣弧長為

π

3

×2=

2π

3

．（5分）
（II）設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），Q（1，0），
依題意，直線PA經(jīng)過點(diǎn)A（-2，0），P（4，t），
可以設(shè)AP：y=

t

6

(x+2)，（6分）
和圓x²+y²=4聯(lián)立，得到

y= t 6 (x+2) x2+y2=4

，
代入消元得到，（t²+36）x²+4t²x+4t²-144=0，（7分）
因?yàn)橹本�AP經(jīng)過點(diǎn)A（-2，0），M（x₁，y₁），所以-2，x₁是方程的兩個(gè)根，
所以有-2x1=

4t2-144

t2+36

，x1=

72-2t2

t2+36

，（8分）
代入直線方程y=

t

6

(x+2)得，y1=

t

6

(

72-2t2

t2+36

+2)=

24t

t2+36

．（9分）
同理，設(shè)BP：y=

t

2

(x-2)，聯(lián)立方程有

y= t 2 (x-2) x2+y2=4

，
代入消元得到（4+t²）x²-4t²x+4t²-16=0，
因?yàn)橹本�BP經(jīng)過點(diǎn)B（2，0），N（x₂，y₂），所以2，x₂是方程的兩個(gè)根，2x2=

4t2-16

t2+4

，x2=

2t2-8

t2+4

，
代入y=

t

2

(x-2)得到y2=

t

2

(

2t2-8

t2+4

-2)=

-8t

t2+4

．（11分）
若x₁=1，則t²=12，此時(shí)x2=

2t2-8

t2+4

=1
顯然M，Q，N三點(diǎn)在直線x=1上，即直線MN經(jīng)過定點(diǎn)Q（1，0）（12分）
若x₁≠1，則t²≠12，x₂≠1，
所以有kMQ=

y1-0

x1-1

=

24t t2+36

72-2t2 t2+36 -1

=

8t

12-t2

，kNQ=

y2-0

x2-1

=

-8t t2+4

2t2-8 t2+4 -1

=

-8t

t2-12

（13分）
所以k_MQ=k_NQ，所以M，N，Q三點(diǎn)共線，
即直線MN經(jīng)過定點(diǎn)Q（1，0）．
綜上所述，直線MN經(jīng)過定點(diǎn)Q（1，0）．（14分）

點(diǎn)評：本題考查直線和圓的位置關(guān)系，具有一定的難度，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，仔細(xì)解答．